A Matemática de Isidoro de Sevilha

Apresentamos ao leitor uma tradução do original latino [1] da Aritmética (capítulos 1 a 7 do Livro III) e da Geometria (capítulos 8 a 13 do Livro III) do Livro III: De Mathematica, do Etymologiarum libri XX de Isidoro de Sevilha. Santo Isidoro (c. 560-636), nascido em Sevilha na época visigoda, foi bispo nesta cidade de 600 a 636. Ele representa um dos grandes elos de transmissão da cultura clássica para a Idade Média. Sua obra Etimologias é uma espécie de enciclopédia, muitíssimo utilizada como tal ao longo de toda a Idade Média: mesmo em autores muito posteriores, como Tomás de Aquino, encontram-se inúmeras referências a esta obra. Ao examinar uma questão qualquer, o autor medieval costumava analisar a etimologia das palavras envolvidas na discussão. Não o fazia para ostentar erudição, mas por basear-se na convicção de que a origem da palavra podia conter em si informações sobre a própria realidade referida.

Etimologias é mais do que um livro sobre a linguagem: expressa todo um panorama da época e sua visão-de-mundo. Compõe-se de vinte livros, cada um elucidando palavras de um determinado campo do saber:

Nesses vinte livros (e internamente em cada livro) aparece uma original e surpreendente organização dos dados para consulta e esta é a razão pela qual Isidoro foi "candidato" a Padroeiro da Informática e da Internet.

O gosto que os autores medievais tinham pela etimologia [2] derivava de uma atitude com relação à linguagem bastante diferente da que, geralmente, temos nós hoje.

Na Idade Média, ansiava-se por saborear a transparência de cada palavra; para nós, pelo contrário, a linguagem é opaca e costuma ser considerada como mera convenção (e nem reparamos, por exemplo, em que: "coleira", "colar", "colarinho", "torcicolo" e "tiracolo" se relacionam com "colo", pescoço). Naturalmente, ao tratar da aritmética as análises etimológicas (sugestivas, embora tantas vezes falsas ou forçadas em Isidoro e nos autores medievais) não são tão importantes; mais decisivo é o conhecimento dessa disciplina, que terá na enciclopédia de Isidoro um dos principais referenciais de ensino para a Idade Média.

Referencial pobre (nem poderia ser diferente naqueles atribulados tempos), sobretudo no que se refere ao livro III, dedicado ao quadrivium, às quatro artes matemáticas: Aritmética, Geometria, Música e Astronomia. Em todo caso, mais do que aspectos "técnicos" da aritmética das Etimologias, interessa-nos aqui o uso pedagógico que o legado isidoriano propiciará à Idade Média. Isidoro não apresenta (nem pretende fazê-lo) inovações científicas; tudo o que quer é iluminar, na medida do possível, a época de trevas em que está instalado. Nessa "cultura de resumos" que é a transição do mundo antigo para o medieval, Isidoro apresenta os elementos que considera essenciais para sua "enciclopédia". Neste estudo introdutório, destacaremos alguns aspectos - sobretudo referentes à Aritmética - desse trabalho de ponte entre a cultura da Antigüidade e a da Idade Média, feita pela enciclopédia Etymologiarum.

Isidoro começa designando as matemáticas "doctrinalis scientia" ("Latine dicitur doctrinalis scientia"). Em II, 10 e ss., ele explica que há quem divida a Filosofia em duas partes: inspectiva e actualis. A inspectiva compreende três tipos: filosofia natural, filosofia doutrinal (é a Matemática, que considera abstratamente [3] a quantidade) e filosofia divina. A doutrinal por sua vez, se divide em quatro: Aritmética, Música, Geometria e Astronomia.

No capítulo 3, apresenta a tradicional concepção de número como "multitude" (multitudo [5] ) e, assim, o um não é número, mas a origem do número, concepção euclidiana e aristotélica (p. ex. Metaph. 1088 a 6).

Nesta mesma linha, Tomás de Aquino, em seu tratado De Deo Uno, assim discute a unidade: "O um, que é princípio dos números, opõe-se à multitude, que é o número, como medida em relação ao medido. Pois o um tem o caráter de primeira medida, e o número é multitude medida pelo um, como fica claro pela Metafísica de Aristóteles". (Summa Theologica I, 11, 2).

Nos tópicos seguintes deste estudo destacaremos alguns aspectos pedagógicos (referentes ao cap. 4 de Isidoro) e aritméticos (dos cap. 4, 5 e 7) e comentários à Geometria em geral.

No capítulo 6, após estabelecer a divisão entre a consideração do número em si mesmo e em relação a outro, Isidoro - para tratar, de algum modo, de "frações" - define os números: superparticulares, superpartientes, múltiplos superparticulares, múltiplos superpartientes, subsuperparticulares, subsuperpartientes etc., que são muito utilizados no tratado de música de Boécio.

Diversos conceitos apresentados na Aritmética de Isidoro são recolhidos dos gregos (valendo-se de autores como Boécio [6] e Cassiodoro), como é o caso de:

Números triangulares (no arranjo tradicional pitagórico), como o 3, 6, 9 e 16:..

O primeiro número piramidal (de tetrágono) é 1. O segundo número piramidal é 5, soma do vértice, 1, ao plano do número quadrado, 4. O terceiro é 14: 1 +5 +9. O quarto é 30. Etc.

Certamente, o uso desses conceitos na primeira Idade Média será muito restrito: faltam as articulações teórico-demonstrativas dos gregos: durante séculos os teoremas estarão praticamente ausentes. No caso dos números associados a figuras faltam em Isidoro até mesmo os resultados mais interessantes e fáceis, como o de que a soma dos n primeiros números ímpares é o número quadrado de lado n (a que é dedicado o capítulo II, 12 da Aritmética de Boécio):

A importância da aritmética para a educação é indicada pelo próprio Isidoro no capítulo 4: "A importância dos números" (III, 4). Como não podia deixar de ser, a aritmética serve também aos estudos de religião, o grande "tema transversal" na pedagogia medieval.

Na leitura profundamente alegórica que a Idade Média faz da Bíblia, a interpretação do "significado" dos números é de capital importância. O próprio Isidoro explicita: "Em muitas passagens da Sagrada Escritura se mostra quão profundo é o mistério que (os números) encerram. Não em vão, em louvor de Deus, diz a Escritura: 'Tudo fizeste com medida, número e peso' (Sab 11, 21)".

Esse princípio é - desde o fim da Antigüidade e ao longo da Idade Média - levado muito a sério. Se para um cristão de hoje os números na Bíblia têm, quando muito, uma importância genérica, a interpretação da Bíblia, na época, requer um conhecimento da Aritmética e do significado místico dos números.

Por exemplo, é necessário saber o que significa o número 153, quando o Evangelho diz que os apóstolos, na pesca milagrosa após a ressurreição de Cristo, apanharam 153 peixes. E vemos um S. Agostinho, repetidas vezes em seus sermões explicar esse 153, pois considera o simbolismo numérico um elemento importante para a compreensão da Revelação:

Assim, não é de estranhar que num Rábano Mauro, discípulo de Alcuíno, encontremos todo um Tratado sobre o significado místico dos números [8] , discutindo, caso a caso, o significado dos números na Bíblia. O cristão de hoje sorri ao ler o autor medieval, munido de calçadeira, explicar que o número 120 é soma da progressão aritmética: 1+2+3...+14+15, e que isto representa misticamente aquelas passagens de Atos em que se descreve a vinda do Espírito Santo (At 2, 1) quando estava reunida a assembléia de 120 pessoas (At 1,15) "todos num mesmo lugar" (a soma simboliza essa reunião).

Precisamente nessas diferenças é que se capta a mentalidade da época. O homem medieval está seriamente convencido de que não há palavra ociosa na Sagrada Escritura e que tudo o que está revelado "é inspirado por Deus, e útil para ensinar, para repreender, para corrigir e para formar na justiça" (II Tim 3, 16)."

Se a dimensão religiosa é essencial para a pedagogia de Isidoro, ele não descura os aspectos práticos (entre os quais se incluem a organização da vida pelas horas, introduzida por São Bento):

Na linha da aplicação dos estudos de aritmética à leitura da Bíblia, analisemos mais de perto um conceito: o de número perfeito. Isidoro exemplifica com o número 6, que evidencia a perfeição (dos seis dias) da criação do mundo. Recolhendo o critério antigo, Isidoro define como perfeito o número cuja soma de seus divisores o perfaz. Assim, um número perfeito - é um número n, tal que a soma de seus divisores (a menos do próprio n) dá n. Se essa soma for maior do que n, o número diz-se abundante; se menor, deficiente.

Isidoro sabe que 6, 28, 496 e 8128 são perfeitos. E conhece o critério para a geração de números perfeitos:

Essa equação recebe uma formulação equivalente em Boécio. Boécio começa o capítulo sobre a geração dos números perfeitos (Aritmética I, 20) da maneira mais medieval possível: observando a grande semelhança entre os números perfeitos (raros e bem ordenados) e as virtudes, e a dos números imperfeitos e os vícios, etc. A seguir, explica como se dá a "geração e procriação" dos números perfeitos: a partir da seqüência dos números parmente pares (isto é, as potências de 2):

Somam-se os n primeiros. Se essa soma der um número primo, multiplica-se pelo maior somando, 2^n-1, e obtém-se um número perfeito.

E, assim, a fórmula boeciana fica: (2ⁿ - 1) . 2^n-1, que é a fórmula que tínhamos enunciado originalmente.

Esses conceitos matemáticos, que Isidoro repassa - em formulação sumária - para a Idade Média, reaparecem, por exemplo, em torno do ano 1000, em outro importante momento pedagógico medieval: a peça Sabedoria, que marca a re-invenção - por Rosvita de Gandersheim [9] - da composição teatral no Ocidente.

Na peça, a autora, com claros propósitos didáticos, brinda-nos com uma aula de Matemática (em III, 31 e ss). Trata-se da cena em que Adriano, o imperador pagão, em meio ao interrogatório para demover de sua fé a nobre senhora cristã Sabedoria - e suas três filhinhas Fé, Esperança e Caridade (sempre, a alegoria) -, pergunta a idade das meninas. Sabedoria aproveita "a deixa" para desenvolver conceitos aritméticos expostos por Isidoro, como:

Até um autor como Tomás de Aquino ainda discute "números perfeitos" e diversos critérios de perfeição numérica para a interpretação da Bíblia (pelos quais o 7, o 12 ou o 100 podem ser perfeitos). Note-se a elasticidade desses critérios em diversas passagens.

a) No Comentário às Sentenças, (d 15, q 3, a 1), Tomás lança a objeção de que Deus não pode ter consumado sua obra no sétimo dia, porque o número perfeito é 6. E responde considerando que o 6 é perfeito por causa de "suas partes", que somadas o perfazem. E trata-se de uma perfeição especial pois, no caso do 6, as partes - 1, 2 e 3 - sucedem-se de modo ordenado e contínuo (ordinatim et continue) e é essa perfeição que condiz com a dos 6 primeiros dias da criação.

b) Já em Comentário às Sentenças, (d 47, q 1, a 2), discutindo o número dos apóstolos, 12, diz: "o sete é o número da perfeição". Ora o 7 se compõe de 3 mais 4 e se multiplicarmos o 3 pelo 14, obteremos o 12, que é duas vezes o 6, que é número perfeito. Além do mais, na Catena Aurea in Matthaeum (cp 10 lc 1), a perfeição do 12 é atribuída à do 6 multiplicado por 2 (que representa os dois preceitos da caridade...).

c) Na Summa (II-II, 87, 1), o 10 aparece "de certo modo" (quodammodo) como número perfeito, pois é uma espécie de primeiro limite dos números, a partir do qual, ele retomam a ordem do um, dois etc.

d) Na Catena Aurea in Matthaeum (cp 8 lc 2), comentando a passagem do Evangelho do centurião, considera o 100 um número perfeito.

Como se vê, a importância de Isidoro projeta-se pelos séculos medievais e é abrangente e profunda.

Particularmente a Geometria de Isidoro está recheada de passagens obscuras, de erros e imprecisões, que comentaremos em notas ao longo da tradução. O capítulo 8, apresenta as médias aritmética, geométrica e "musical" (harmônica). A partir do capítulo 10, começa propriamente a Geometria.

Em latim, chama-se "ciência "doutrinal" à ciência que trata da quantidade abstrata. A quantidade é abstrata quando no intelecto a separamos da matéria ou de outros acidentes, como é o caso de "par" e "ímpar", que só são considerados pelo raciocínio.

A astronomia é a disciplina que trata do movimento [11] dos astros do céu e contempla as características das estrelas.

A seguir, exporemos um pouco mais amplamente essas disciplinas para que possamos adequadamente mostrar seus princípios.

1. A aritmética é a disciplina dos números e os gregos chamam o número arithmós. Alguns autores profanos pretendem que ela seja a primeira entre as disciplinas matemáticas, pois não depende de nenhuma outra.

2. Já a música, a geometria e a astronomia seguem-se à aritmética: só com seu auxílio podem surgir e subsistir [13] .

Afirma-se que, entre os gregos, Pitágoras foi o primeiro a escrever [14] sobre a disciplina do número e que, depois, Nicômaco ampliou esse trabalho, que, entre os latinos, foi traduzido primeiro por Apuleio [15] e depois por Boécio.

1. Número é uma multitude [16] constituída a partir de unidades, pois o um não é número, mas a origem do número. A palavra "número" procede de nummus (dinheiro), por seu uso freqüente. Um derivou seu nome do grego, pois o grego chama o um héna, tal como o dois e o três que eles chamam duo e tría.

2. O quatro tomou esse nome da figura quadrada. Já o cinco recebeu seu nome não segundo a natureza, mas pelo arbítrio da vontade de quem impôs nome aos números. O seis e o sete também procedem do grego.

3. Em muitas palavras que em grego começam por aspiração, nós a substituímos por um S. Assim, em vez de hex dizemos sex (seis) e septem (sete) em lugar de hepta, do mesmo modo que chamamos serpillum (serpilho) à erva herpillus. O oito foi trazido sem modificações; e o que é para eles ennéa, para nós é nove; e déka, dez.

4. Na etimologia grega, o dez é assim chamado porque ajunta e reúne os números que o antecedem: desmós significa em grego ajuntar ou reunir. Já viginti (vinte) é um dez duas vezes gerado (bis geniti), se trocarmos o B pelo V. Trinta (triginta) é um dez três vezes gerado e assim por diante, até o noventa.

5. O cem procede de cantho, círculo. Duzentos de dois centos e assim até mil. Mil deriva de multitude e daí também milícia, que é como "multitia"; e milhar, que os gregos, mudando uma letra, chamam de myriada.

1. Não se deve desprezar a razão [17] que se encontra nos números. Em muitas passagens da Sagrada Escritura se mostra quão profundo é o mistério que encerram. Não em vão, em louvor de Deus, diz a Escritura: "Tudo fizeste com medida, número e peso" (Sab 11, 21).

2. Assim, o seis, que é um número perfeito - a soma de suas partes [18] o perfaz - evidencia a perfeição (dos seis dias) da criação do mundo. Assim também, sem o conhecimento dos números não se entende porque foram quarenta os dias em que Moisés, Elias e o próprio Senhor jejuaram.

3. E assim outros números aparecem também nas santas Escrituras cujo sentido figurado não se pode entender a não ser pelos que conhecem esta matéria. Em alguma medida, nossa vida dá-se sob a ciência dos números: por ela sabemos as horas, acompanhamos o curso dos meses, sabemos quando retorna cada época do ano.

4. Pelo número aprendemos a evitar enganos. Suprimido o número de todas as coisas, tudo perece. Se se tira o cômputo dos tempos, tudo ficará envolto na cega ignorância e o homem não se pode diferenciar dos animais, que ignoram os procedimentos de cálculo (rationem calculi).

1. Os números se dividem em pares e ímpares. Os pares, por sua vez, se dividem em parmente pares, parmente impares e imparmente pares. Os números ímpares se dividem em: primos ou simples, segundos ou compostos e terceiros ou intermédios, que, de certo modo, são primos e não compostos e, de certo modo, são segundos e compostos.

2. Número par é o que se pode dividir em duas partes iguais, como o 2, o 4 e o 8. Já o ímpar não se deixa dividir em duas partes iguais, faltando ou sobrando 1 em uma delas. É o caso do 3, 5, 7, 9 etc.

3. Número parmente par é aquele que se pode dividir em partes iguais pares, sucessivamente, até atingir a indivisível unidade. Por exemplo, o 64, cuja metade é 32; a deste é 16; a deste é 8; a deste é 4; a deste é 2; a deste é 1, que é singular indivisível.

4. Número parmente ímpar é o que se deixa dividir em suas partes iguais, mas estas já não são divisíveis. É o caso do 6, do 10, do 38 e do 50. Assim que divides um desses números, obténs um número que não podes dividir.

5. Imparmente par é o número cujas partes podem ainda sofrer divisão, mas não a ponto de atingir a unidade. É o caso do 24, cuja metade é 12, que, por sua vez, tem por metade 6, cuja metade é 3, que não admite mais divisões e, assim, antes de atingir a unidade, chegamos a um termo que não se pode dividir.

6. Imparmente ímpar é um número que pode ser medido imparmente por número ímpar, como o 25 e o 49, ímpares que se dividem em partes ímpares: 49 é sete vezes sete e 25 é cinco vezes cinco.

7. São simples [19] os que não têm partes [20] exceto a unidade. Como o 3, o 5 e o 7. Estes só admitem uma parte [21] .

Os números compostos são os que não são medidos [22] só pela unidade, mas são obtidos também por outros números. É o caso do 9, do 15 e do 21, que são três vezes três, cinco vezes três e sete vezes três.

8. Números intermédios são os que, de certo modo, parecem primos e não compostos e, de outro modo, compostos. Como por exemplo o 9 em relação ao 25, é primo e não composto, pois não têm número [23] em comum, mas só a unidade (monadicum). Se comparamos, porém o 9 ao 15, ele é segundo e composto, porque têm número em comum além da unidade, o número 3 que mede o 9 em três vezes três e mede o 15 em três vezes cinco.

9. Dentre os números pares, por sua vez, há os que são abundantes, há os deficientes e há os perfeitos.

Os abundantes são os que, somando suas partes, excedem a sua própria plenitude. É o caso do 12, que tem cinco partes: a duodécima, que é 1; a sexta, 2; a quarta, 3; a terça, que é 4; e a metade, 6. Somando 1, 2 , 3, 4 e 6 obtém-se 16, que excede, em muito, o 12. E assim também muitos outros números como o 18 etc.

10. Números deficientes são aqueles que a soma de suas partes resulta menor do que esse número. Por exemplo, o dez, que tem três partes: a décima, 1; a quinta, 2; e a metade, 5. A soma de 1, 2 e 5 é 8 que, de longe, e menor do que 10. E o mesmo se dá com o 8 e com diversos outros números, cuja soma das partes é inferior ao próprio número.

11. Número perfeito é o que se perfaz com suas partes, como o 6. O 6 tem três partes: a sexta, 1; a terça, 2; e a metade, 3. Essas partes - 1, 2 e 3 - somadas consumam e perfazem o 6. São números perfeitos: na primeira dezena, o 6; na primeira centena, o 28; no primeiro milhar, o 496.

1. Todo número pode ser considerado em si mesmo ou em relação a outro. No primeiro caso, eles podem ser: iguais ou desiguais; no segundo, maiores ou menores. Os maiores se classificam em: múltiplos, superparticulares, superpartientes, múltiplos superparticulares, múltiplos superpartientes. Os menores se classificam em: submúlti-plos, subsuperparticulares, subsuperpartientes, submúltiplos subsuperparticulares, submúltiplos subsuperpartientes.

2. O número considerado em si mesmo é considerado independentemente de relações com outro, como o 3, ou o 4, 5, 6 etc. O número considerado em relação a outro é examinado em comparação com outro. Como o 4 comparado ao 2 é dobro e múltiplo; e o mesmo se dá com o 6 em relação ao 3, o 8 em relação ao 4, o 10 em relação ao 5. Assim também o 3 é o triplo do 1; o 9 é triplo do 3 etc.

3. Dizem-se iguais os números que segundo a quantidade são iguais, como o 2 e o 2, o 3 e o 3, o 10 e o 10 e o 100 e o 100. São desiguais os números que, comparados, apontam para quantidades desiguais, como o 3 e o 2, o 5 e o 4, o 10 e o 6 e sempre um maior comparado a um menor ou um menor comparado a um maior dizem-se desiguais.

4. O número maior contém em si o menor ao qual é confrontado e algo mais; como por exemplo o 5 é mais que o 3, porque contém o três e outras duas partes mais. E assim também nos casos semelhantes.

5. O número menor está contido no maior ao qual é comparado, como o 3 em relação ao 5; que o contém e a duas partes. Múltiplo é um número que contém em si um menor duas, três, quatro ou mais vezes, como o 2 que é o dobro do 1, o três que é seu triplo, 4 seu quádruplo etc.

6. Já o contrário é o numero submúltiplo, que está contido duas, três, quatro ou mais vezes no múltiplo como, por exemplo, o 1 no 2 duas vezes; no 3, três; no 4, quatro; no 5, cinco; etc.

7. Superparticular é o número que contém em si o número inferior ao qual é comparado e além disso uma parte mais, como o 3 e o 2, que, quando comparados, o 3 contém o 2 e também o 1, que é meia parte do 2; o 4 e o 3, o 4 contém o 3 e o 1, que é a terça parte do 3; o 5 e o 4, o 5 contém o 4 e o 1 sua quarta parte; etc.

8. Número superpartiente é o que contém em si a todo número inferior e, além disso, duas, três, quatro, cinco ou mais partes dele, como, por exemplo, o 5 comparado ao 3, contém o 3 e duas partes dele; o 9 comparado ao 5 contém o 5 e quatro partes dele.

9. O número subsuperpartiente é o que se contém no superpartiente com algumas - duas, três ou mais - de suas partes, como, por exemplo, o 3 -com duas de suas partes- se contém no 5; e o 5 - com quatro de suas partes - se contem no 9.

10. O número subsuperparticular é o número menor que, junto com alguma de suas partes - meia, terça, quarta, quinta... - se contém no maior. Por exemplo, o 2 em relação ao 3; o 3 em relação ao 4; o 4 em relação ao 5; etc.

11. Múltiplo superparticular é o número que comparado com outro menor, contém em si múltiplas vezes esse número inferior e mais alguma parte dele, como por exemplo, o 5 em relação ao 2, contém o 2 duas vezes - isto é, 4 - e mais uma parte; o 9 comparado ao 4, contém duas vezes o 4 - isto é, 8 - e mais uma parte dele.

12. [Número submúltiplo [sub] subparticular é aquele que comparado a um maior, está contido nele múltiplas vezes e com uma parte sua. É o caso do 2 em relação ao 5: está duas vezes contido nele e mais uma parte sua]. O múltiplo superpartional é o número que, comparado com outro menor o contém múltiplas vezes e com outras partes dele. Por exemplo, o 8 em relação ao 3: o 8 contém o 3 duas vezes e mais duas partes dele. Eo 14 contém o 6 duas vezes e mais duas partes dele [ou o 16 contém o 7 duas vezes e mais duas partes dele e o 21 contém o 6 três vezes e mais três partes dele].

13. O número submúltiplo superpartional é aquele que comparado a um maior, está contido nele múltiplas vezes e com algumas partes suas. É o caso do 3 em relação ao 8: está duas vezes contido nele junto com duas parte suas. E o 4 está contido no 11 duas vezes junto com três partes suas.

1. Os números são discretos ou continentes. Neste caso, temos números lineares, superficiais e sólidos. Número discreto é o que está constituído por unidades discretas, como o 3, 4, 5, 6 etc.

2. Número continente é aquele que é constituído por unidades conexas, como por exemplo o 3 quando considerado em extensão, isto é, em linha, superfície ou corpo sólido. E o mesmo vale para o 4 ou o 5.

3. Número linear é aquele que começando com a unidade e seguindo uma linha vai até o infinito. Daí que seja designado por alfa, porque esta letra designa o 1 entre os gregos.

4. O número superficial está contido não só por longitude mas também por latitude, como os números triangulares, quadrados, pentagonais ou circulares, assim como os que estão contidos no plano, isto é na superfície. E assim há números triangulares, quadrados e pentagonais (figuras abaixo).

5. É circular [24] o número que multiplicado por si mesmo começa em si e volta a si, como 5 vezes 5, que é 25. Número sólido é o que está contido por longitude, latitude e altura, como ocorre com as pirâmides que se elevam a modo de chama.

Número esférico é aquele que, multiplicado pelo circular, começa em si e volta a si. 5 vezes 5 é 25. Este círculo multiplicado por 5 de novo dá uma esfera, isto é 5 vezes 25 é 125.

1. Entre aritmética, geometria e música há esta diferença: a determinação da média. Para obteres a média aritmética, soma os extremos, divida [por 2] e obterás o termo médio. Como, por exemplo, se os extremos são 6 e 12, a soma dá 18. Partindo-se ao meio o 18 dá 9, que é a proporção aritmética [25] , pois a média supera o primeiro termo nas mesmas unidades em que é superada pelo outro termo: 9 supera 6 em 3 unidades, tal como é superada por 12.

2. Para obter a média geométrica. A multiplicação dos extremos dá o mesmo que a dos termos médios; por exemplo: o produto de 6 por 12 é o mesmo que o de 8 por 9 [26] . Já a média musical supera o termo menor na mesma parte ["fração" deste] em que é superada pelo termo maior ["fração" deste] [27] . Por exemplo 6 e 8: o 8 supera o 6 em 2, que é um terço de 6 [ao mesmo tempo 8 é superado por 12 em 4, que é também um terço de 12] [28] .

1. É certíssimo que há infinitos números, pois a própria razão e a ciência dos números atestam que para qualquer número que considerasses ser o último, é possível, por grande, por avultado que seja - nem vou falar de somar-lhe uma unidade - pode não só ser duplicado, mas multiplicado.

2. Cada número está tão determinado por suas propriedades que nenhum deles pode ser identificado a outro. São, portanto, distintos e diferentes entre si; e sendo cada um deles finito, considerados em conjunto são infinitos.

1. Diz-se que a disciplina da Geometria começou com os egípcios, pois com as inundações do Nilo, apagavam-se com o lodo as demarcações das propriedades e deu-se início a esta arte - e daí o nome Geometria [29] - de delimitar as terras que deviam ser divididas, por linhas e medidas. Mais tarde, foi levada pelos sábios a uma altura tal que se mediam os espaços do mar, do céu e do ar.

2. Pois, atraídos pelo estudo, depois das dimensões da terra começaram a pesquisar os espaços do céu: quanto dista da terra a lua; quanto a lua do sol; e a medida da distância até o vértice do céu. E também calcularam, de modo provável, o número de estádios das distâncias do céu e o contorno do orbe.

3. Mas como essa disciplina surgiu com medição de terras, conservou o nome que teve em sua origem. Pois "Geometria" procede de "terra" e "medida", já que "terra", em grego, é ge e medida é metra. E a arte desta disciplina compreende linhas, distâncias, medidas e figuras; e nas figuras considera as dimensões e os números.

1. A Geometria se divide em quatro partes: o plano, a magnitude numerável, a magnitude racional e as figuras sólidas.

2. As figuras planas são as que se configuram por longitude e latitude; segundo Platão são cinco. A magnitude numerável é a que pode ser dividida em números da Aritmética.

3. As magnitudes racionais são aquelas cujas medidas podemos conhecer; já das irracionais, não se dá medida conhecida.

1. As figuras sólidas são as que se configuram por comprimento, largura e altura, como é o caso do cubo. As figuras planas são de cinco tipos: a primeira é o círculo, que se chama circunduta [30] , no meio da qual está um ponto para o qual tudo converge, e em Geometria se chama centro; já os latinos o denominam "ponto do círculo" (ver figura).

2. O quadrilátero é uma figura quadrada no plano e é compreendida sob quatro linhas retas (ver figura). O dianatheton grammon é uma figura plana (ver figura). O orthogonium, que significa ângulo reto, é uma figura plana: é o triângulo que tem um ângulo reto (ver figura). O isopleuros é uma figura plana e reta (ver figura).

3. A esfera é uma figura de forma redonda, igual em todas suas partes (ver figura). O cubo é figura própria sólida que tem comprimento, largura e altura (ver figura).

4. O cilindro é uma figura quadrada, com um semicírculo acima (ver figura) [31] .

5. O cone é uma figura que vai do largo até terminar em estreito, tal como o triângulo retângulo (ver figura).

6. A pirâmide é figura, que tal como o fogo, vai do largo até um vértice. Fogo em grego é pyr (ver figura).

7. Assim como todos os números estão abaixo do 10, assim também o círculo pode encerrar cada figura [32] (ver figura). A primeira figura da arte geométrica é o ponto, que não tem partes. A segunda é a linha, que tem comprimento além de largura. A linha reta jaz igualmente em seus pontos. Já a superfície, tem só comprimento e largura. As linhas são os limites das superfícies; não foram postas suas formas nas dez figuras anteriores, porque se encontram entre elas.

Se queres os números de acordo com a Geometria, faze assim: a multiplicação dos extremos dá o mesmo que a dos meios; como por exemplo 6 multiplicado por 12 dá 72, que é o mesmo que 8 multiplicado por 9.

[1] Seguimos o texto apresentado na edição de José OROZ RETA San Isidoro de Sevilla - Etimologías, Madrid, BAC, 1982.

[2] Examino com mais detalhe a importância da etimologia para Isidoro e para os autores medievais em J. LAUAND (org.) Cultura e Educação Medievais, São Paulo, Martins Fontes, 1999.

[3] Abstrato, para Isidoro, é o que foi separado, saído. Assim, por exemplo, falando dos dragões, Isidoro diz que eles freqüentemente provocam ciclones quando saem (abstractus) de suas cavernas: "Qui saepe ab speluncis abstractus fertur in aerem, concitaturque propter eum aer"(12, 4, 4).

[4] . Sobre o cap. 2, recolho a seguinte nota do Dr. Sérgio Nobre "Isidoro escreve que Pitágoras foi o primeiro grego a escrever sobre a ciência dos números e que posteriormente fora completado por Nicomachus, cuja obra foi traduzida para o latim primeiramente por Apuleio e em seguida por Boécio. As informações históricas contidas neste verbete são importantes contribuições para aqueles que posteriormente viriam a escrever sobre a história das origens das teorias numéricas. Isidoro ressalta a figura do personagem de nome Pitágoras (c.580-500) ligado à Ciência dos Números. Embora Isidoro não mencione a existência de documentos que comprovam a existência de Pitágoras, pois certamente ele também se apóia em outros autores que o citam, este é mais um documento histórico que confirma a ligação deste com a matemática e especificamente com temas ligados a teoria de números. Outra informação histórica importante que aparece neste pequeno verbete é a existência de um outro grego que continuou os estudos iniciados por Pitágoras, ou por membros da Escola Pitagórica. Isidoro cita Nicômaco de Gerasa (~100 A.D.), pitagórico que, além de escritos matemáticos, também teve uma grande produção em textos sobre teoria musical. Sobre a obra matemática de Nicômaco, Isidoro não menciona o título, certamente deve ser o seu texto mais conhecido Introdução à aritmética, mas explicita que esta obteve duas traduções para o latim. Com relação às traduções para o latim, Isidoro menciona que a obra de Nicômaco foi primeiramente traduzida por Apuleio e em seguida por Boécio. São duas informações importantes para a compreensão do desenvolvimento histórico relativo às traduções de textos gregos para o latim. Primeiramente é citado Apuleio de Madaura (c.125-171), um sofista e platônico provavelmente do século II da Era Cristã, do qual muito pouco se sabe, e muito menos sobre suas atividades relacionadas à matemática. Cabe ressaltar que dentre as poucas informações que se tem atualmente sobre Apuleio, algumas são originárias das menções feitas a ele por Cassiodoro e Isidoro. Caso fosse encontrada, certamente esta tradução da obra de Nicômaco feita por Apuleio teria sua dose de contribuição para a compreensão do pensamento romano-europeu no início da era Cristã. Um segundo autor citado por Isidoro como tradutor da obra de Nicômaco foi o erudito Anicius Boethius". S. NOBRE, "Isidoro de Sevilha", in Elementos historiográficos da Matemática presentes em enciclopédias universais. Dissertação de Livre-Docência em História da Matemática. Unesp - campus de Rio Claro, 2001.

[5] Numerus autem est multitudo. Preferimos a forma nova multitude, pois multidão está demasiadamente associado a pessoas.

[6] Anicii Manlii Torquati Severini BOETII De Institutione Arithmetica libri duo. De Institutione Musica libri quinque. Edidit Godofredus Friedlein, Lipsiae, Teubner, 1867. Há ed. eletrônica em: http://cdl.library.cornell.edu/Hunter/hunter.pl?handle=cornell.library.math/cdl274&id=1

[7] . Sermão 250 in AGOSTINHO Sermões para a Páscoa, trad. de António Fazenda, Lisboa, Verbo, 1974.

[8] PL CXI, livro XVIII, cap. III do De Universo. Há tradução brasileira em J. LAUAND O significado místico dos números, Curitiba-S. Paulo, PUC-PR - GRD, 1992.

[9] . PL 137, 1035 - 1042. Há tradução brasileira em J. LAUAND Educação, Teatro e Matemática Medievais, São Paulo, Perspectiva, 2a. ed., 1990.

[10] Em 3, 10, Isidoro lembrará que geo-metria tem que ver com medida.

[11] Se a Astronomia trata do movimento, a Geometria é "disciplina magnitudinis inmobilis" (II, 24, 15).

[12] Este parágrafo, como boa parte do que Isidoro diz sobre Aritmética, foi tomado (por vezes, literalmente de Cassiodoro "Sobre a Matemática" em Institutiones, que, por sua vez, apóia-se em Boécio.

mesmo modo, comenta Boécio, que só se pode falar em homem se antes se dispõe do conceito de animal, assim também a Geometria só pode falar em triângulo ou quadrado, pressupondo a Aritmética (op. cit. I, 1, 20 e ss.).

[13] Do mesmo modo, comenta Boécio, que só se pode falar em homem se antes se dispõe do conceito de animal, assim também a Geometria só pode falar em triângulo ou quadrado, pressupondo a Aritmética (op. cit. I, 1, 20 e ss.).

[14] Já Agostinho lembra que Pitágoras nunca escreveu nada: "Nam Pythagoras(...) non tantum de se, sed nec de ulla re aliquid scripsisse perhibetur". De consensu euangelistarum,1,7,12.

[15] Sabemos muito pouco sobre Nicômaco de Gerasa (entre 55 e 166 D.C.). Autor de várias obras que se perderam. A Introdução à Aritmética foi traduzida ao latim por Apuleio, segundo Cassiodoro (PL 70, 1208 B). Também essa tradução não chegou até nós, mas somente o De institutione arithmetica de Boécio, que é uma adaptação dessa obra (Nota da ed. de José Oroz).

[16] Numerus autem est multitudo. Preferimos a forma nova multitude, pois multidão está demasiadamente associado a pessoas.

[17] A ratio, isto é, as leis e princípios racionais que neles se encerram.

[18] As partes, isto é, os divisores distintos do proprio número.

[21] Um divisor: o um. Por vezes, quando Isidoro fala de "parte" sem mais, refere-se ao um.

[24] Números circulares e esféricos coincidem, respectivamente, com os números quadrados e cúbicos.

[25] No orig.: quod est analogicum arithmeticae. Isidoro chama a média de analógico, pois como ele mesmo diz no livro I, 28, 1 "analogia" é a palavra grega que tem em latim correspondentes "conparatio" ou "proportio".

[26] Na verdade, Isidoro lida num sentido muito amplo com o conceito de média geométrica, que, a rigor, se aplicaria no exemplo: 4 é a média geométrica de 2 e 8, pois 2 x 8 = 4 x 4.

[27] Isidoro retoma obscuramente o conceito clássico de média harmônica: 8 é a média harmônica entre 6 e 12, porque supera 6 em 2 (que é 1/3 de 6) e é superado por 12 em 4 (que é 1/3 de 12). Em notação moderna, b é a média harmônica entre a e c, se (a-b) / (b-c) = a/c; ou o que é o mesmo: b = 2ac / (a +c).

[28] O original confusamente fala aqui em superatur ab ultima nona. Em III, 23, com mais propriedade, Isidoro retomará o tema.

[29] Geo-metria, significa, medição de terras.

[30] Sempre a preocupação etimológica de Isidoro: circumducta, conduzida circularmente.

[31] Entre tantas passagens obscuras, tantos erros e imprecisões, este chama a atenção especialmente. Talvez Isidoro tenha confundido a figura com sua representação plana.

[32] Talvez Isidoro queira dizer que toda figura pode ser inscrita num círculo...