Home | Novidades | Revistas | Nossos Livros |  Links Amigos

 Santo Isidoro – Livro da Aritmética 
 Liber III - De Mathematica 

 

Praefatio

Latine dicitur doctrinalis scientia, quae abstractam considerat quantitatem. Abstracta enim quantitas est, quam intellectu a materia separantes vel ab aliis accidentibus, ut est par, inpar, vel ab aliis huiuscemodi in sola ratiocinatione tractamus.

Cuius species sunt quattuor: id est arithmetica, musica, geometria et astronomia.

Arithmetica est disciplina quantitatis numerabilis secundum se.

Musica est disciplina quae de numeris loquitur, qui inveniuntur in sonis.

Geometria est disciplina magnitudinis et formarum.

Astronomia est disciplina quae cursus caelestium siderum atque figuras contemplatur omnes atque habitudines stellarum.

Quas disciplinas deinceps paulo latius indicamus, ut earum causae conpetenter possint ostendi.

1. De vocabulo arithmeticae disciplinae

1. Arithmetica est disciplina numerorum. Graeci enim numerum arithmon dicunt. Quam scriptores saecularium litterarum inter disciplinas mathematicas ideo primam esse voluerunt, quoniam ipsa ut sit nullam aliam indiget disciplinam.

2. Musica autem et geometria et astronomia, quae sequuntur, ut sint atque subsistant istius egent auxilium.

2. De auctoribus eius

Numeri disciplinam apud Graecos primum Pythagoram autumant conscripsisse, ac deinde a Nicomacho diffusius esse dispositam; quam apud Latinos primus Apuleius, deinde Boetius transtulerunt.

3. Quid sit numerus

1. Numerus autem est multitudo ex unitatibus constituta. Nam unum semen numeri esse, non numerum. Numero nummus nomen dedit, et a sui frequentatione vocabulum indidit. Unus a Graeco nomen trahit; Graeci enim unum ena dicunt: sic duo et tres, quos illi duo et tria appellant.

2. Quattuor vero a figura quadrata nomen sumpserunt. Quinque autem non secundum naturam, sed secundum placitum voluntatis vocabulum acceperunt ab eo, qui numeris nomina indidit. Sex autem et septem a Graeco veniunt.

3. In multis enim nominibus quae in Graeco aspirationem habent, nos pro aspiratione S ponimus. inde est pro hex sex, [et] pro hepta septem, sicut pro herbillo herba serpillum. Octo vero per translationem, sicut illi et nos: ita illi ennea, nos novem: illi deka, nos decem.

4. Dicti autem decem a Graeca etymologia, eo quod ligent et coniugant infra iacentes numeros. Nam desmos coniungere vel lugare apud eos dicitur. Porro viginti dicti quod sint decem bis geniti, V pro B littera posita. Triginta, quod a ternario denario gignantur: sic usque ad nonaginta.

5. Centum vero vocatio a cantho, quod est circulum; ducenti a duo centum. Sic et reliqui usque ad mille. Mille autem a multitudine, unde et militia, quasi multitia: inde et milia, quae Graeci mutata littera myriada vocant.

4. Quid praestent numeri

Ratio numerorum contemnenda non est. In multis enim sanctarum scriptuarum locis quantum mysterium habent elucet. Non enim frustra in laudibus Dei dictum est (Sap 11,12): 'omnia in mensura et numero et pondere fecisti.'

2. Senarius namque numerus qui partibus suis perfectus est, perfectionem mundi quadam numeri sui significatione declarat. Similiter et quadraginta dies, quibus Moyses et Helias et ipse Dominus ieiunaverunt, sine numerorum cognitione non intelleguntur.

3. Sic et alii in scripturis sacris numeri existunt, quorum figuras non nisi noti huius artis scientiae solvere possunt. Datum est etiam nobis ex aliqua parte sub numerorum consistere disciplina, quando horas per eam dicimus quando de mensuum curriculo disputamus quando spatium anni redeuntis agnoscimus.

4. Per numerum siquidem ne confudamur instruimur. Tolle numerum in rebus omnibus, et omnia pereunt. Adime saeculo conputum, et cuncta ignorantia caeca conplecitur, nec differri potest a ceteris animalibus, qui calculi nesciunt rationem.

5. De prima divisione parium et imparium

1. Numerus dividitur in [his] paribus et inparibus. Par numerus dividitur in his: pariter par, pariter inpar, et inpariter par. Inpar numerus dividitur in his: primum et simplum, secundum et conpositum, tertium mediocrem, qui quodam modo primus et incompositus est, alio vero modo secundus et compositus est.

2. Par numerus est, qui in duabus aequis partibus dividi potest, ut ii, iv et viii. Inpar vero numerus est, qui dividi aequis partibus nequit, uno medio vel deficiente vel superante, ut iii, v, vii, ix et reliqui.

3. Pariter par numerus est, qui secundum parem numerum pariter dividitur, quousque ad indivisibilem perveniat unitatem; ut puta lxiv habet medietate xxxii, hic autem xvi, xvi vero viii, octonarius iv, quaternarius ii, binarius unum, qui singularis indivisibilis est.

4. Pariter inpar est, qui in partes aequas recipit sectionem, sed partes eius mox indissecabiles permanent, ut vi, x, et xxxviii, l. Mox enim hunc numerum divideris, incurris in numerum quem secare non possis.

5. Inpariter par numerus est, cuius partes etiam dividi possunt, sed usque ad unitatem non perveniunt, ut xxiv. Hi enim in medietatem divisi xii faciunt rursumque in aliam medietatem vi, deinde in aliam tres; et ultra divisionem non recipit sectio illa, sed ante unitatem invenitur terminus, quem secare non possis.

6. Inpariter inpar est, qui ab inpari numero impariter mensuratur, ut xxv, xlix; qui dum sint inpares numeri, ab inparibus etiam partibus dividuntur, ut septies septeni xlix et quinquies quini xxv.

Inparium numerorum alii simplices sunt, alii conpositi, alii mediocres.

7. Simplices sunt, qui nullam aliam partem habent nisi solam unitatem, ut ternarius solam tertiam, et quinarius solam quintam, et septenaruis solam septimam. His enim una pars sola est.

Conpositi sunt, qui non solum unitate metiuntur, sed etiam alieno numero procreantur, ut novem, xv et xxi. Dicimus enim ter terni, et septies terni, ter quini, et quinquies quini.

8. Mediocres numeri sunt, qui quodammodo simplices et inconpositi esse videntur, alio vero modo et conpositi; [ut] verbi gratia, novem ad xxv dum conparatus fuerit, primus est et inconpositus, quia non habet communem numerum nisi solum monadicum: ad quindecim veri si conparatus fuerit, secundus est et conpositus, quoniam inest illi communis numerus praeter monadicum, id est ternarius numerus; qui <a> novem mensurat ter terni, et quindecim ter quini.

9. Item parium numerorum alii sunt superflui, alii diminutivi, alii perfecti.

Superflui sunt, quorum partes simul ductae plenitudinem suam excedunt, ut puta duodenaruis. Habet enim partes quinque: duodecimam, quod est unum; sextam, quod duo; quartam, quod tria; tertiam, quod quattuor; demidiam, quod sex. Vnum enim et duo, et tria, et quattuor, et sex simul ducta xvi faciunt et longe a duodenario excedunt: sic et alii similes plurimi, ut duodevicesimus, et multi tales.

10. Diminutivi numeri sunt, qui partibus suis computati minorem summam efficiunt, ut puta denarius, cuius partes sunt tres: decima, quod est unum; quinta, quod duo; demidia, quod quinque. Vnum enim et duo et quinque simul ducta octonarius faciunt, longe denario minorem. Similis est huic octonarius, vel alii plurimi qui in partes redacti infra consistunt.

11. Perfectus numerus est, qui suis partibus adinpletur, ut senarius; habet enim tres partes, sextam, tertiam, [et] dimidiam: sexta eius unum est, tertia duo, dimidia tres. Haec partes in summam ductae, id est unum et duo et tertia simul eundem consummant perficiuntque senarium. Sunt autem perfecti numeri intra denarium vi, intra centenarium xxviii, intra millenarium ccccxcvi.

6. De secunda divisionis totius numeri

1. Omnis numerus aut secundum se consideratur, aut ad aliquid. Iste dividitur sic: alii enim sunt aequales, alii inaequales. Iste dividitur sic: alii sunt maiores, alii sunt minores. Maiores dividuntur sic: multiplices, superparticulares, superpartientes, multiplices superparticulares, multiplices superpartientes. Minores dividuntur sic: submultiplices, subsuperparticulares, subsuperpartientes, submultiplices subsuperparticulares, submultiplices subsuperpartientes.

2. Per se numerus est, qui sine relatione aliqua dicitur, ut iii, iv, v, vi, et ceteri similes. Ad aliquid numerus est, qui relative ad alios conparatur; ut verbi gratia iv ad ii dum conparatus fuerit, duplex dicitur [et multiplex], vi ad iii, viii ad iv, x ad v; et iterum iii ad unum triplex, vi ad ii, ix ad iii et ceteri.

3. Aequales numeri dicuntur, qui secundum quantitatem aequales sunt, ut verbi gratia ii ad ii, iii ad iii, x ad x, c ad c. Inaequales numeri sunt, qui ad invicem conparati inaequalitatem demonstrant, ut iii ad ii, iv ad iii, v ad iv, x ad vi; et universaliter maior minori aut minor maiori huiusmodi dum conparatus fuerit, inaequalis dicitur.

4. Maior numerus est, qui habet in se illum minorem numerum, ad quem conparatur, et aliquid plus; ut verbi gratia quinarius numerus trinario numero fortior est, eo quod habet quinarius numerus in se trinarium numerum et alias partes eius duas, et reliqui tales.

5. [Minor numerus est, qui continctur a maiori, ad quem conparatur, cum aliqua parte sui, ut ternarius ad quinarium. Continetur enim ab eo cum duabus partibus suis.] Multiplex numerus est, qui habet in se minorem numerum bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter; ut verbi gratia ii ad unum dum conparati fuerint, duplex est; iii ad unum, triplex; iv quadruplex, et reliqui.

6. Econtra submultiplex numerus est, qui intra multiplicem continctur bis, aut ter, aut quater, aut multipliciter; ut verbi gratia unus a ii bis continetur, a iii ter, a iv quater, a v quinquies, et ab aliis multipliciter.

7. Superparticularis numerus est, dum fortior continet intra se inferiorem numerum, circa quem conparatur, similiter et unam partem eius; ut verbi gratia iii ad ii dum conparati fuerint, continent intra se ii et alium unum, qui media pars est duorum; iv ad iii dum conparati fuerint, continent in se iii, et alium unum, qui est tertia pars trium. Iterum v ad iv dum conparati fuerint, habent in se quaternarium numerum, et alium unum, qui quarta pars esse dicitur quaternarii numeri, et ceteri tales.

8. Superpartiens numerus est, qui in se inferiorem numerum totum continet, et super hoc alteras partes eius ii, aut iii, aut iv, aut v, aut alias; ut verbi gratia v ad iii dum conparati fuerint, habent in se quinarius numerus trinarium, et super hoc alias partes eius ii; vii ad iv dum conparati fuerint, habent in se iv, et alias iii partes eius; ix ad v dum conparati fuerint, habent in se v, et alias iv partes eius.

9. Subsuperpartiens numerus est, qui continetur in numero superpartienti cum aliquibus partibus suis duabus aut tribus aut pluribus; [ut] verbi gratia iii continentur a v cum aliis ii partibus suis; v a ix cum iv partibus suis.

10. Subsuperparticularis numerus est minor, qui continetur in fortiori numero cum alia una parte sua, aut media, aut tertia, aut quarta, aut quinta; ut verbi ii ad iii, iii ad iv, iv ad v, et ceteri.

11. Multiplex superparticularis numerus est, qui dum conparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet in se totum inferiorem numerum multipliciter cum aliqua parte eius; ut verbi gratia v ad ii dum conparati fuerint, continent in se bis ii, iv, et unam partem eius; ix ad iv dum conparati fuerint, continent in se bis iv, viii, et unam partem eius.

12. [Submultiplex [sub]superparticularis numerus est qui, dum ad fortiorem sibi numerum conparatus fuerit, continetur ab eo multipliciter cum alia una parte sua; ut verbi gratia ii ad v dum conparati fuerint, continentur ab eo bis cum una parte sua.] Multiplex superpartionalis numerus est, qui dum conparatus ad inferiorem sibi numerum fuerit, continet eum multipliciter cum aliis partibus eius; ut verbi gratia viii ad iii dum conparati fuerint, continent in se bis iii, cum aliis ii partibus eius; xiv ad vi dum conparati fuerint, continent intra se bis vi cum aliis ii partibus eius; [xvi ad vii dum conparati fuerint, continent eum bis cum aliis ii partibus eius; xxi ad ix dum conparati fuerint, continent intra se bis ix cum aliis iii partibus eius].

13. Submultiplex superpartionalis numerus est, qui dum ad fortiorem sibi conparatus fuerit, continetur ab eo multipliciter cum aliquibus partibus suis; ut verbi gratia iii ad viii continentur bis cum ii partibus suis; iv ad xi continentur bis cum iii partibus suis.

7.    De tertia divisione totius numeri

1. Numeri aut discreti sunt, aut continentes. Iste dividitur sic: 1) lineales, 2) superficiosi, 3) solidi. Discretus numerus,est, qui a discretis monadibus continetur, ut verbi gratia iii, iv, v, vi, et reliqui.

2. Continens numerus est, qui coniunctis monadibus continetur; [ut] verbi gratia ternarius numerus in magnitudine intellegatur, id est in linea, aut spatium aut solidum dicitur continens: similiter quaternarius et quinarius numeri.

3. Linealis numerus est, qui inchoans a monade linealiter scribitur usque ad infinitum. Vnde alpha ponitur pro designatione linearum, quoniam haec littera unum significat apud Graecos.

4. Superficialis numerus est, qui non solum longitudine, sed et latitudine continetur, ut trigonus, quadratus, quinqueangulus vel circulatus numeri, et ceteri, qui semper in plano pede, id est superficie continentur. Trigonus numerus est ita (seq. figura). Quadratus numerus est ita (seq. figura). Quinqueangulus ita (seq. figura).

5. Circularis numerus est ita, qui dum similiter multiplicatus fuerit, a se inchoans ad se convertitur, ut verbi gratia quinquies quini xxv. Solidus numerus est, qui longitudine et latitudine vel altitudine contine tur, ut sunt pyramides, qui in modum flammae consurgunt, ita (seq. figura).

6. Cubus, ut sunt tesserae, ita (seq. figura). Sphaerae, quibus est aequalis undique rotunditas, ita (seq. figura). Sphaericus autem numerus est, qui a circulato numero multiplicatus a se inchoat et in se convertitur. Quinquies quini xxv. Hic circulus dum in se ipsum multiplicatus fuerit, facit sphaeram, id est quinquies xxv cxxv.